SZZ materiály

5

Diferenciální a integrální počet funkcí jedné proměnné (definice derivace funkce a její geometrický význam, primitivní funkce, určitý integrál a jeho geometrický význam), numerické derivování a integrace (obdélníkové, lichoběžníkové a Simpsonovo pravidlo), aplikace (určení lokálního extrému, navazování křivek, objem rotačního tělesa)

Užitečné odkazy

Kartéřský součin

Značí se:

\[A \times B\]

Definice:

\[A \times B = \{ (a,b) \mid a \in A,\; b \in B \}\]

Příklad

Mějme množiny

\[A=\{1,2\}\] \[B=\{a,b,c\}\]

Potom

\[A \times B = \{ (1,a), (1,b), (1,c), (2,a), (2,b), (2,c) \}\]

Počet prvků

Počet prvků kartézského součinu je roven součinu počtu prvků obou množin:

\[|A \times B| = |A| \cdot |B|\]

V našem případě:

\[|A| = 2\] \[|B| = 3\]

proto:

\[|A \times B| = 2 \cdot 3 = 6\]

Binární relace

\[R \subseteq A \times B\]

tj. množina uspořádaných dvojic.

Zobrazení

\[f : A \to B\]

Pro každé:

\[x \in A\]

existuje právě jedno:

\[y \in B\]

Funkce

\[f : A \to B\]

Každému prvku z množiny $A$ přiřazuje právě jeden prvek z množiny $B$.

V kontextu funkce:

Skutečný obor hodnot funkce je množina všech hodnot, kterých funkce skutečně nabývá:

\[f(A)=\{f(x)\ |\ x \in A\}\]

Předpis funkce popisuje závislost mezi prvky definičního oboru a odpovídajícími prvky oboru hodnot. Jinými slovy určuje, jakým způsobem se z hodnoty vstupu vypočítá odpovídající hodnota výstupu.

Reálná funkce

\[f : A \to B\] \[A,B \subseteq \mathbb{R}\] \[f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\]

Každému reálnému číslu z definičního oboru přiřazuje právě jedno reálné číslo z oboru hodnot.

Reálná funkce jedné proměnné

\[x \in \mathbb{R}\] \[f(x) \in \mathbb{R}\]

Primitivní funkce

\[F'(x) = f(x)\]

Příklad

Funkce:

\[F(x) = x^2\]

je primitivní funkcí k $f(x)=2x$, protože její derivace je:

\[F'(x) = 2x\]

Proto platí:

\[F'(x) = f(x)\]

Rostoucí funkce

Funkce $f$ je rostoucí na definičním oboru $D(f)$, pokud pro libovolná dvě čísla z definičního oboru platí:

\[x,y \in D(f)\]

a současně

\[x < y \Rightarrow f(x) < f(y)\]

Jinými slovy:

Příklad

\[f(x)=2x\]

Pro

\[1 < 3\]

platí

\[f(1)=2\] \[f(3)=6\]

a tedy

\[2 < 6.\]

Asymptota funkce

Vertikální asymptota

Přímka ve tvaru:

\[x = a\]

je vertikální asymptotou funkce, pokud platí:

\[\lim_{x \to a} f(x) = \pm\infty\]

Horizontální asymptota

Přímka ve tvaru:

\[y = b\]

je horizontální asymptotou funkce, pokud platí:

\[\lim_{x \to \infty} f(x) = b\]

nebo

\[\lim_{x \to -\infty} f(x) = b\]

Limita

\[\lim_{x \to a} f(x)=L\]

To znamená, že pokud se: \(x \to a\)

pak se odpovídající funkční hodnoty: \(f(x) \to L\)

přičemž „$\to$“ v tomto kontextu čteme jako „se blíží k“.

Limita zleva

\[\lim_{x \to a^-} f(x)\]

Limita zprava

\[\lim_{x \to a^+} f(x)\]

Existence limity

\[\lim_{x \to a^-} f(x)=\lim_{x \to a^+} f(x)=L \Rightarrow \lim_{x \to a} f(x)=L\]

Příklad

Funkce:

\[f(x)=\frac{1}{x}\]

nemá v bodě $x=0$ limitu, protože:

\[\lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x}=-\infty\] \[\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x}=+\infty\]

limita zleva a limita zprava nejsou stejné.

Derivace

Definice

\[f'(x)=\lim_{h \to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}\]

kde:

Geometrický význam

Derivace elementárních funkcí

Funkce $f(x)$ Derivace $f’(x)$
$c$ (konstanta) $0$
$x^n$ $n x^{n-1}$
$e^x$ $e^x$
$\ln x$ $\dfrac{1}{x}$
$\sin x$ $\cos x$
$\cos x$ $-\sin x$
$\tan x$ $\dfrac{1}{\cos^2 x}$

Příklad

\[f(x)=x^3\] \[f'(x)=3x^2\]

V bodě $x=2$:

\[f'(2)=12\]

tečna v tomto bodě roste strměji než v bodě $x=0$, kde je $f’(0)=0$.

Derivace součinu

\[(f\cdot g)'(x)=f'(x)\,g(x)+f(x)\,g'(x)\]

Příklad

\[f(x)=x^2\cdot \sin x\] \[f'(x)=2x\sin x + x^2\cos x\]

Derivace podílu

\[\left(\frac{f}{g}\right)'(x)=\frac{f'(x)\,g(x)-f(x)\,g'(x)}{g(x)^2}\]

kde $g(x)\neq 0$.

Příklad

\[f(x)=\frac{x}{x+1}\] \[f'(x)=\frac{1\cdot(x+1)-x\cdot 1}{(x+1)^2}=\frac{1}{(x+1)^2}\]

Souvislost s lokálním extrémem

\[f'(x)=0\]

Integrál

Neurčitý integrál

\[\int f(x)\,dx = F(x) + C\]

Určitý integrál

\[\int_a^b f(x)\,dx = \left[F(x)\right]_a^b = F(b)-F(a)\]

Geometrický význam

\[\int_a^b f(x)\,dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x\]

kde:

Obdelníkové pravidlo

Princip

Vzorec

\(\int_a^b f(x)\,dx \approx \sum_{i=1}^{n} f(x_i)\,\Delta x\)

kde:

\[\Delta x = \frac{b-a}{n}\]

Geometrický význam

Výhody

Nevýhody

def rectangle_rule(f, a, b, n):
    dx = (b - a) / n
    total = 0.0

    for i in range(n):
        x = a + i * dx
        total += f(x) * dx

    return total

# Aproximace určitého integrálu ∫₀² x² dx pomocí obdélníkového pravidla.
result = rectangle_rule(lambda x: x * x, a=0, b=2, n=1000)
print(result)

Složené lichoběžníkové pravidlo

Princip

Vzorec

\[\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{2} \left[ f(x_0) + 2\sum_{i=1}^{n-1}f(x_i) + f(x_n) \right]\]

kde:

\[\Delta x = \frac{b-a}{n}\]

Geometrický význam

Výhody

Nevýhody

def trapezoidal_rule(f, a, b, n):
    dx = (b - a) / n

    total = (f(a) + f(b)) / 2

    for i in range(1, n):
        x = a + i * dx
        total += f(x)

    return total * dx

# Aproximace určitého integrálu ∫₀² x² dx pomocí lichoběžníkového pravidla.
result = trapezoidal_rule(lambda x: x * x, a=0, b=2, n=1000)
print(result)

Simpsonovo pravidlo

Princip

Vzorec

\[\int_a^b f(x)\,dx \approx \frac{\Delta x}{3} \left[ f(x_0) + 4\sum_{i=1,3,5,\dots}^{n-1}f(x_i) + 2\sum_{i=2,4,6,\dots}^{n-2}f(x_i) + f(x_n) \right]\]

kde

\[\Delta x=\frac{b-a}{n}\]

a $n$ musí být sudé.

Geometrický význam

Výhody

Nevýhody

def simpson_rule(f, a, b, n):
    if n % 2 != 0:
        raise ValueError("n musí být sudé")

    dx = (b - a) / n

    total = f(a) + f(b)

    for i in range(1, n):
        x = a + i * dx

        if i % 2 == 0:
            total += 2 * f(x)
        else:
            total += 4 * f(x)

    return total * dx / 3

# Aproximace určitého integrálu ∫₀² x² dx pomocí Simpsonova pravidla.
result = simpson_rule(lambda x: x * x, a=0, b=2, n=1000)
print(result)

Určení lokálního extrému

  1. Spočítám první derivaci.
  2. Vyřeším rovnici $f’(x)=0$.
  3. Zkoumám změnu znaménka derivace.

\[+ \rightarrow - \Rightarrow \text{lokální maximum}\] \[- \rightarrow + \Rightarrow \text{lokální minimum}\]

Objem rotačního tělesa