SZZ materiály

8

Náhodná veličina a její charakteristiky (distribuční funkce, druhy, pravděpodobnostní funkce vs. hustota pravděpodobnosti, číselné charakteristiky [střední hodnota, rozptyl, kvantily], vybraná diskrétní a spojitá rozdělení pravděpodobnosti)

Užitečné odkazy

• https://physics.ujep.cz/~mmaly/vyuka/poc_fyz_1/zdroje/NahodnaVelicina_zaklady.pdf (Náhodná veličina)

Obecné poznatky

• umět říct co je to pravděpodobností funkce
• umět říct co je to distribuční funkce
• jak vypadají u spojitého a diskrétního rozdělení
• u spojitého rozdělení bychom měli být schopni načrtnout hustotu normálního rozdělení (tedy Gaussovu křivku) a taky distribuční funkci normálního rozdělení

Náhodná veličina

• funkce přiřazující každému elementárnímu jevu číselnou hodnotu
• např. hod mincí (máme pana nebo orel, tak pana bude třeba 0 a orel 1)

Elementární jev

• výsledek náhodného pokusu

Náhodný pokus

• pokus, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda nastal nebo nenastal

Matematický zápis náhodné veličiny

kde:

• $X$: označení náhodné veličiny (funkce)
• $\Omega$ (Omega): prostor všech možných elementárních jevů (všechny výsledky, které mohou nastat)
• $\omega$ (malé omega): jeden konkrétní elementární jev ($\omega \in \Omega$), který do funkce vstupuje
• $x$: konkrétní výsledná hodnota, která z funkce vyleze (reálné číslo, $x \in \mathbb{R}$)

\(X: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\) \(X(\omega) = x\) \(\omega \in \Omega \qquad x \in \mathbb{R}\)

Příklad náhodné veličiny

Provedeme nějaký náhodný pokus (např. hod mincí). Výsledek náhodné pokusu nazýváme náhodný jev, jemuž náhodná veličina, jakožto funkce, přiřadí číselnou hodnotu (např. pana = 0, orel = 1).

Zápis $P(X = 1)$ pak vyjadřuje otázku: „Jaká je pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty 1?“

Rozdělení náhodné veličiny

• předpis, který nám říká, jak jsou pravděpodobnosti rozděleny mezi jednotlivé možné výsledky
• odpovídá na otázku „Jak moc je která hodnota pravděpodobná?“
• rozdělení je funkce, které každému výsledku přiřadí jeho šanci na úspěch

Způsoby popisu rozdělení náhodné veličiny

• diskrétní
• spojitá
• distribuční funkce

Diskrétní

• nabývá izolovaných hodnot (0, 1, 2, …)
• popisuje se pravděpodobnostní funkcí $P(x) = P(X = x)$
• součet všech pravděpodobností je vždy 1

Příklad: Hod mincí

• Náhodná veličina ($X$): počet padlých „orel“
• Možné hodnoty: 0 nebo 1
  • 0 = padla pana
  • 1 = padl orel
• Rozdělení pravděpodobnosti (Pravděpodobnostní funkce):
  • $P(X=0) = 0,5$ (panna)
  • $P(X=1) = 0,5$ (orel)
  • Kontrola: $0,5 + 0,5 = 1$ (vždy musí vyjít 100 %)

Příklad: Hod dvěma mincemi

• Náhodná veličina ($X$): počet padlých „orel“
• Možné hodnoty: 0, 1, nebo 2
  • 0 = padly dvě panny (máš 0 orlů)
  • 1 = padla jedna panna a jeden orel (máš 1 orla)
  • 2 = padli dva orli
• Rozdělení pravděpodobnosti (Pravděpodobnostní funkce):
  • $P(X=0) = 0,25$ (padnou dvě panny – šance 1 ze 4 - šance, že nebude žádný orel)
  • $P(X=1) = 0,50$ (padne panna-orel nebo orel-panna – šance 2 ze 4 - šance, že bude přesně jeden orel)
  • $P(X=2) = 0,25$ (padnou dva orli – šance 1 ze 4 - šance, že budou oba orli)
  • Kontrola: $0,25 + 0,50 + 0,25 = 1$ (vždy musí vyjít 100 %)

Diskrétní pravděpodobností funkce

• grafem jsou izolované sloupce nebo body
• výška sloupce přímo ukazuje pravděpodobnost té hodnoty (např. 0,5 pro orla)
• mezi sloupci není nic (nemůžeš hodit 0,5 orla)

Spojitá

• nabývá jakékoliv hodnoty z určitého intervalu (např. všechna čísla od 0 do nekonečna)
• popisuje se hustotou pravděpodobnosti $f(x)$
• pravděpodobnost v jednom přesném bodě je vždy 0 ($P(X = 180,000…) = 0$)
• pravděpodobnost se počítá jako plocha pod křivkou pro určitý interval

Příklad: Výška dospělého muže

• Náhodná veličina ($X$): výška v centimetrech
• Možné hodnoty: teoreticky jakékoliv kladné číslo (v praxi např. 150 až 220 cm)
• Rozdělení pravděpodobnosti:
  • místo tabulky máme křivku (u výšky je to ten známý “zvon” – Normální rozdělení)
  • nejvyšší bod křivky je kolem 180 cm (to je nejčastější výška)
  • šance, že potkáš někoho, kdo má přesně 180,000… cm, je nulovádává smysl se ptát jen na interval: “Jaká je šance, že má člověk mezi 175 a 185 cm?” (to je plocha pod křivkou v tomto rozmezí)
• Kontrola: Celková plocha pod celou křivkou (od začátku do konce) musí být vždy 1 (100 %)

Spojitá hustota pravděpodobnosti

• grafem je spojitá křivka
• pravděpodobnost není výška v jednom bodě, ale plocha pod křivkou v nějakém rozmezí
• hodnoty na sebe plynule navazují (mezi 180 cm a 181 cm je nekonečně mnoho dalších hodnot)

Distribuční funkce

• vzorec: $F(x) = P(X \leq x)$
• udává pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší nebo rovné $x$
• začíná vždy na 0 (v $-\infty$)
• končí vždy na 1 (v $+\infty$)
• je neklesající (pravděpodobnost se jen přičítá, nemůže ubývat)

U diskrétního rozdělení:

• Rozdělení je popsáno pravděpodobnostní funkcí $P(x)$.
• Distribuční funkce $F(x)$ je pak prostý součet těchto pravděpodobností od nejmenší hodnoty po $x$.
• Grafem jsou schody.

U spojitého rozdělení:

• Rozdělení je popsáno hustotou pravděpodobnosti $f(x)$.
• Distribuční funkce $F(x)$ je plocha (integrál) pod touto hustotou od $-\infty$ po $x$.
• Grafem je plynulá rostoucí křivka.

Příklad: Kostka (šestistěnka)

• Máme náhodnou veličinu $X$ (číslo na kostce).
• Pravděpodobnostní funkce pro každé číslo je $1/6$.
• Kolik je $F(3)$? Je to $P(X \leq 3)$.
• Znamená to: „Jaká je šance, že hodím trojku nebo méně (1, 2 nebo 3)?“
• Výpočet: $1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 0,5$.
• Výsledek: $F(3) = 0,5$
• Tedy je šance 50 %, že hodím trojku nebo méně.

Číselné charakteristiky náhodné veličiny

• střední hodnota
• rozptyl
• kvantyly

Střední hodnota

• popisuje „průměrnou“ hodnotu náhodné veličiny
• říká, jaka hodnota by v průměru vycházela při velmi mnoha náhodných pokusech

Rozptyl

• popisuje, jak moc jsou hodnoty rozptýlené kolem střední hodnoty

Rozdělení náhodné veličiny

• diskrétní
  • Poissonovo
  • Binomické
  • …
• spojité
  • Normální
  • …

Binomické rozdělení

• určuje pravděpodobnost že nastane určitý počet úspěchů v určitém počtu pokusů, kde každý pokus má stejnou pravděpodobnost úspěchu
• rozdělení si můžeme zapamatovat dle začátku názvu “bi”, které naznačuje, že mohou nastat pouze dva případy (úspěch/neúspěch)
• vybíráme s vracením (narozdíl od hypergeometrického rozdělení)

Normální rozdělení

• spojité rozdělení se symetrickým zvonem (Gaussova křivka)
• modeluje veličiny s hodnotami kolem středu a vzácnými extrémy (výška, chyba měření, …)
• označení: $X \sim N(\mu,\sigma^2)$
  • $\mu$ = střední hodnota (střed zvonu)
  • $\sigma^2$ = rozptyl, $\sigma$ = směrodatná odchylka (šířka zvonu)

Hustota pravděpodobnosti

• tvar: zvonovitá křivka, maximum v bodě $x=\mu$
• symetrie kolem $\mu$
• plocha pod křivkou = 1
• pravděpodobnost intervalu = plocha pod křivkou na tom intervalu (ne hodnota v jednom bodě)

Distribuční funkce

• $F(x)=P(X \leq x)$
• tvar: plynulá sigmoida od 0 do 1
• v bodě $\mu$ je $F(\mu)=0{,}5$