SZZ materiály
Základy elektroniky
- rozumět funkci logických hradel (AND, OR, NOT, NAND, NOR, XOR, XNOR)
- umět sestavit pravdivostní tabulku
- umět pracovat s Karnaughovou mapou
- minimalizovat pomocí Karnaughovy mapy a pomocí algoritmu Quine-McCluskey (včetně skupinové minimalizace)
- umět nakreslit schéma logické funkce
- chápat zapojení sedmisegmentového displeje s jednou cifrou (například typ 5161AS 0.56’ společná katoda)
- umět používat dekodér
- umět používat multiplexor
Užitečné odkazy
- https://www.laskakit.cz/sedmisegmentovy-0-56--displej--spolecna-katoda--cerveny (7segmentový displej)
Obecné poznatky
- u většiny úloh budou max. 3-4 vstupní proměnné (spíše 3)
- pokud bude povaha úlohy triviální, tak 4 vstupní proměnné
- např. u metody McClusky budou velmi pravděpodobně 3 vstupní proměnné
- oblíbené zadání zkoušejícího (Dual dekodér na Gray), tedy velmi vysoká pravděpodobnost výskytu
- žádné jiné kombinace než Dual, Gray a M z N se nevyskytnou
- u M z N je vysoká pravděpodobnost, že se vyskytne 2 ze 3 (přičemž N bude velmi pravděpodobně vždy 3 a M bude 0, 1, nebo 2)
AND
- výstup je $1$ pouze tehdy, když jsou všechny vstupy $1$
| x₁ | x₂ | f |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
OR
- výstup je $1$, pokud je alespoň jeden vstup $1$
| x₁ | x₂ | f |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |
NOT
- invertuje vstup
| x | f |
|---|---|
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
NAND
- negace AND
| x₁ | x₂ | f |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
NOR
- negace OR
| x₁ | x₂ | f |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |
XOR
- výstup je $1$, pokud jsou vstupy různé
| x₁ | x₂ | f |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
XNOR
- výstup je $1$, pokud jsou vstupy stejné
| x₁ | x₂ | f |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |
Pravdivostní tabulka
- popisuje všechny možné kombinace vstupů a jejich odpovídající výstup
- každý řádek reprezentuje jednu konkrétní kombinaci hodnot vstupních proměnných
- počet řádků pravdivostní tabulky určuje vztah: $2^n$
kde:
- $n$ je počet vstupních proměnných
Například:
- pro $n=1$ existují $2^1=2$ kombinace
- pro $n=2$ existují $2^2=4$ kombinace
- pro $n=3$ existují $2^3=8$ kombinací
Obecný tvar pravdivostní tabulky:
| i | x₁ | x₂ | … | xₙ | f |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | … | 0 | ? |
| 1 | 0 | 0 | … | 1 | ? |
| 2 | 0 | 1 | … | 0 | ? |
| . | . | . | … | . | . |
| . | . | . | … | . | . |
| . | . | . | … | . | . |
kde:
- $i$ je index řádku
- $x_1 \dots x_n$ jsou vstupní proměnné
- $f$ je výstupní funkce
Kombinační obvod
- obvod, kde na vstupu je nějaká kombinace a generuje na výstupu nějakou kombinaci
- např. na vstupu to mohou být tlačítka a na výstupu diody, které se mají rozvítit
Příklad kombinačního obvodu
Navrhněte kombinační obvod zadaný funkcí $f(2,3,5,6)$.
1. Schéma
Kombinační obvod můžeme obecně znázornit jako blok, do kterého vstupují vstupní proměnné a na základě jejich kombinace vzniká výstupní funkce $f$.
V tomto případě:
- $x_1, x_2, x_3$ jsou vstupy
- $y=f$ je výstup obvodu
Laicky řečeno:
- 3 proměnné = 3 vstupní nožičky
- 1 výstup = 1 výstupní nožička
2. Pravdivostní tabulka
Funkce $f$ říká, na jakém indexu jsou jedničky na výstupu. Protože nejvyšší index je $6$, celkový počet indexů bude $2^3 = 8$, protože pro tři vstupní proměnné existuje celkem $2^3$ různých kombinací nul a jedniček. Indexy píšeme od 0, tedy v tomto případě $0$-$7$. Ptám se kolik musím mít proměnných, abych měl v pravdivostní tabulce alespoň index 6 - resp. na kolikátou musím umocnit dvojku, aby vyšlo číslo alespoň 6. Výjde 3 (proto $2^3$), protože třetí mocnina dvojky je nejblíže číslu 6.
Dle $f(2,3,5,6)$ jsou jedničky na výstupu na indexech $2$, $3$, $5$:
- $i$ … index
- $x_n$ … vstupy
- $y=f$ … výstup
| i | x₁ | x₂ | x₃ | f |
|---|---|---|---|---|
| 0 | ||||
| 1 | ||||
| 2 | 1 | |||
| 3 | 1 | |||
| 4 | ||||
| 5 | 1 | |||
| 6 | 1 | |||
| 7 |
Vyplňování hodnot u proměnných ($x₁$, $x₂$, $x₃$) se řídí jednoduchými pravidly:
- U první proměnné ($x₁$) vyplníme první polovinu indexů nulami, druhou polovinu jedničkami. Protože máme $8$ řádků, zapíšeme nejprve $4$ nuly a potom $4$ jedničky.
- U druhé proměnné ($x₂$) střídáme hodnoty po čtvrtinách tabulky. Zapíšeme tedy $2$ nuly, $2$ jedničky a tento vzor opakujeme.
- U třetí proměnné ($x₃$) střídáme nuly a jedničky po jednom řádku. Zapíšeme tedy $1$ nulu, $1$ jedničku a tento vzor opakujeme.
Každá další proměnná střídá hodnoty dvakrát rychleji než předchozí. Poslední proměnná se mění na každém řádku. První proměnná se mění nejpomaleji.
| i | x₁ | x₂ | x₃ | f |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Existuje dokonce univerzální uzavřený vzorec, který nám řekne, po kolika řádcích se mají hodnoty $0$ a $1$ střídat:
\[2^{n-k}\]kde:
- $n$ je celkový počet vstupních proměnných
- $k$ je pořadí proměnné zleva
Tento vzorec tedy určuje velikost bloku stejných hodnot.
Například pro:
- $n = 3$
- $k = 1$
dostaneme:
\[2^{3-1} = 2^2 = 4\]To znamená, že pokud máme $3$ proměnné a zajímá nás jak má být velký blok stejných hodnot u $1$. proměnné, tak výjde $4$, takže budeme psát $4$ nuly, $4$ jedničky.
Dekodér
- kombinační obvod, jehož účelem je převést jeden vstup na druhý
Dual dekodér na Gray
Příklad
Navrhněte dekodér Dual na Gray (3 bity).
1. Schéma
Máme tedy 3 vstupní nožičky, do kterých vstupuje Dual, a 3 výstupní nožičky, ze kterých vystupuje Gray.
2. Pravdivoství tabulka
| i | x₁ | x₂ | x₃ | y₁ | y₂ | y₃ |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 0 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 0 |
Pro každý řádek pravdivostní tabulky:
- dosadíme konkrétní hodnoty vstupů $x_1$, $x_2$, $x_3$
- použijeme obecné vztahy pro převod
- vypočítáme jednotlivé výstupní bity $y_1$, $y_2$, $y_3$
Obecné vztahy jsou:
\[y_1 = x_1\] \[y_i = x_{i-1} \oplus x_i \qquad \text{pro } i \ge 2\]Tímto způsobem postupně vypočítáme všechny řádky pravdivostní tabulky. Zde je příklad pro řádek na 0. indexu pravdivostní tabulky:
První bit se vždy pouze opíše, všechny další bity jsou XOR dvou sousedních bitů.
M z N dekodér
Navrhněte dekodér M z N (2 ze 3) (3 bity).
1. Schéma
2. Pravdivoství tabulka
| i | x₁ | x₂ | x₃ | y |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 2 | 0 | 1 | 0 | 0 |
| 3 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 4 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 5 | 1 | 0 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 1 | 1 | 1 | 0 |
Výstupní nožička ($y$) svítí právě tehdy, když právě/alespoň 2 ze 3 vstupních nožiček ($x₁$, $x₂$,, $x₃$) svítí najednou.
Napsal jsem “právě/alespoň” proto, že záleží na záměru součástky. Pokud není záměr v zadání explicitně zadán, doporučuji implicitně vybrat buď variantu “právě”, nebo “alespoň”, a pak to zkoušejícímu explicitně oznámit. Další vhodnou variantou je doptat se na záměr, nicméně první varianta působí více sebevědomě, protože jako autoři součástky uděláte vědomé rozhodnutí a nedelegujete rozhodování na zkoušejícího.
Další možné varianty zadání:
- 0 ze 3
- 1 ze 3
- 2 ze 3
7segmentový displej s jednou cifrou
- čára = LED segment
- jednotlivé segmenty se rozsvěcí přivedením logické hodnoty, záleží však na konkrétním typu displeje:
- společná katoda → segment rozsvítí logická $1$
- společná anoda → segment rozsvítí logická $0$
- (u zkoušky ale stačí říct, jak bude fungovat náš imaginární 7segmentový displej)
- ve skutečnosti je segmentů ale 8:
- a
- b
- c
- d
- e
- f
- g
- desetinná tečka (dp = decimal point)
- reálně se tedy jedná o 8segmentový displej, ale 8. segment je jen kulatá tečka, takže se do názvu nepočítá
- označení „7segmentový“ vzniklo proto, že hlavním účelem displeje je zobrazování číslic, které používají právě sedm hlavních segmentů
Dual dekodér na 7segment. displej
Navrhněte dekodér Dual na 7segment. displej (3 bit).
Zde je postup, kde je k minimalizaci použita Kaurnaughova mapa:
Zde je postup, kde je k minimalizaci použit Algoritmus Quine-McCluskey:
Multiplexor
- kombinační obvod, který vybírá jeden z více vstupů a přepošle jej na výstup
Příklad
Navrhněte multiplexor 8 na 1 (8 vstupů, 1 výstup).
Multiplexor 8 na 1 má osm vstupních nožiček (D0-D8), tři výběrové nožičky (x1, x2, x3) a jednu výstupní (y).
Výběrové vstupy tvoří binární číslo, které určuje, který vstup se přepošle na výstup.
Protože:
\[2^3 = 8\]pomocí tří bitů dokážeme vybrat jeden z osmi vstupů.
Například:
| $x_1x_2x_3$ | Vybraný vstup |
|---|---|
| 000 | $D_0$ |
| 001 | $D_1$ |
| 010 | $D_2$ |
| 011 | $D_3$ |
| 100 | $D_4$ |
| 101 | $D_5$ |
| 110 | $D_6$ |
| 111 | $D_7$ |
Multiplexor funguje jako elektronický přepínač.
Na vstupu jsou připravená data:
- $D_0 \dots D_7$
-
- ty si můžeme zvolit jak chceme, protože v realitě ty hodnoty většinou přicházejí z jiného obvodu
a binární číslo (v tomto případě o délce 3) na výběrových vstupech říká:
„Který vstup mám právě poslat na výstup?“
