SZZ materiály

Matematický software

• základní matematické operace v Pythonu a matematické výpočty v NumPy a SciPy
• vizualizace dat pomocí Matplotlib PyPlot
• interpolace a aproximace funkce jedné proměnné
• derivace a integrace funkce jedné proměnné
• řešení obyčejných diferenciálních rovnic

Užitečné odkazy

• https://youtu.be/zpYMiJd3pqg?si=zG0NRiX7Hurm2U-l (SIR model - v angličtině)
• https://www.youtube.com/watch?v=NKMHhm2Zbkw (SIR model - v angličtině)

Základní matematické operace

Standardní matematické funkce poskytuje modul math.

import math

# Základní operace
addition: float = 5 + 3
subtraction: float = 5 - 3
multiplication: float = 5 * 3
division: float = 5 / 3
power: float = 5 ** 3
modulo: int = 5 % 3

# Odmocnina
square_root: float = math.sqrt(25)

# Goniometrické funkce
sinus: float = math.sin(math.pi / 2)
cosinus: float = math.cos(0)
tangens: float = math.tan(math.pi / 4)

# Logaritmy
natural_logarithm: float = math.log(10)
decimal_logarithm: float = math.log10(100)

# Konstanty
pi_value: float = math.pi
euler_number: float = math.e

# Nápovědy
help(math)
help(math.sqrt)

available_functions: list[str] = dir(math)
print(available_functions)

SIR model

• matematický epidemiologický model, který popisuje šíření infekčních nemocí v populaci

Populace je rozdělena do 3 skupin:

Označení	Název (EN)	Název (CS)	Význam
S	Susceptible	zdraví	zdraví lidé, kteří se mohou nakazit
I	Infectious	nakažení	aktuálně nakažení lidé
R	Recovered	uzdravení	uzdravení lidé s imunitou

SIR model popisuje, kolik lidí se nachází v jednotlivých skupinách na začátku simulace a jak se tyto počty mění v čase.

Příklad

Na začátku:

• 99 % populace je zdravých
• 1 % populace je nakažených
• nikdo ještě není uzdravený

susceptible = 0.99
infected = 0.01
recovered = 0.0

Protože modelujeme celou populaci, musí platit že:

\[S+I+R=1\]

Po určité době:

• nakažení začnou infikovat další lidi
• část nakažených se uzdraví
• počet uzdravených roste

Diferenciální rovnice

SIR model popisuje, jak rychle se jednotlivé skupiny mění v čase.

\[\frac{dS}{dt} = -\beta SI\]

• zdravých ubývá
• zdraví se nakazí kontaktem s nakaženými

\[\frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I\]

• nakažení přibývají novými infekcemi
• nakažených ubývá uzdravením

\[\frac{dR}{dt} = \gamma I\]

• uzdravení přibývají

Význam parametrů

Parametr	Význam
β	rychlost šíření infekce
γ	rychlost uzdravení

Celý model

\[\begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta SI \\ \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I \\ \frac{dR}{dt} = \gamma I \end{cases}\]

Reprodukční číslo

• určuje, kolik dalších lidí průměrně nakazí jeden nakažený člověk

Značí se:

\[R_0\]

V SIR modelu platí:

\[R_0 = \frac{\beta}{\gamma}\]

Parametr	Význam
β	rychlost šíření infekce
γ	rychlost uzdravení

Interpretace:

Hodnota R₀	Význam
R₀ < 1	epidemie postupně zaniká
R₀ = 1	epidemie je stabilní
R₀ > 1	epidemie se šíří

SIS model

• model, ve kterém po uzdravení nevzniká imunita
• uzdravený člověk se může znovu nakazit

Populace je rozdělena do 2 skupin:

Označení	Název (EN)	Název (CS)	Význam
S	Susceptible	zdraví	zdraví lidé, kteří se mohou nakazit
I	Infectious	nakažení	aktuálně nakažení lidé

Protože uzdravení ztrácí imunitu, neexistuje skupina:

\[R\]

Diferenciální rovnice:

\[\frac{dS}{dt} = -\beta SI + \gamma I\]

• zdravých ubývá novými infekcemi
• zdravých přibývá uzdravením nakažených

\[\frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I\]

• nakažení přibývají infekcí
• nakažených ubývá uzdravením

Celý model:

\[\begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta SI + \gamma I \\ \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I \end{cases}\]

SIRD model

• rozšíření SIR modelu o úmrtí
• model popisuje šíření nemoci, uzdravení i úmrtí

Populace je rozdělena do 4 skupin:

Označení	Název (EN)	Název (CS)	Význam
S	Susceptible	zdraví	zdraví lidé, kteří se mohou nakazit
I	Infectious	nakažení	aktuálně nakažení lidé
R	Recovered	uzdravení	uzdravení lidé s imunitou
D	Deceased	mrtví	lidé, kteří zemřeli

Průběh:

\[S \rightarrow I \rightarrow R\]

nebo:

\[S \rightarrow I \rightarrow D\]

Diferenciální rovnice:

\[\frac{dS}{dt} = -\beta SI\]

• zdravých ubývá novými infekcemi

\[\frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I - \mu I\]

• nakažení přibývají infekcí
• nakažených ubývá uzdravením
• nakažených ubývá úmrtím

\[\frac{dR}{dt} = \gamma I\]

• uzdravení přibývají

\[\frac{dD}{dt} = \mu I\]

• mrtvých přibývá

Význam parametrů:

Parametr	Význam
β	rychlost šíření infekce
γ	rychlost uzdravení
μ	mortalita

Celý model:

\[\begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta SI \\ \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I - \mu I \\ \frac{dR}{dt} = \gamma I \\ \frac{dD}{dt} = \mu I \end{cases}\]

SIRVD model

• rozšíření SIRD modelu o vakcinaci
• model popisuje šíření nemoci, uzdravení, úmrtí i očkování

Populace je rozdělena do 5 skupin:

Označení	Název (EN)	Název (CS)	Význam
S	Susceptible	zdraví	zdraví lidé, kteří se mohou nakazit
I	Infectious	nakažení	aktuálně nakažení lidé
R	Recovered	uzdravení	uzdravení lidé s imunitou
V	Vaccinated	očkovaní	očkovaní lidé
D	Deceased	mrtví	lidé, kteří zemřeli

Průběh:

\[S \rightarrow I \rightarrow R\]

nebo:

\[S \rightarrow I \rightarrow D\]

nebo:

\[S \rightarrow V\]

Diferenciální rovnice:

\[\frac{dS}{dt} = -\beta SI - \nu S\]

• zdravých ubývá infekcí
• zdravých ubývá vakcinací

\[\frac{dV}{dt} = \nu S\]

• očkovaných přibývá

\[\frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I - \mu I\]

• nakažení přibývají infekcí
• nakažených ubývá uzdravením
• nakažených ubývá úmrtím

\[\frac{dR}{dt} = \gamma I\]

• uzdravení přibývají

\[\frac{dD}{dt} = \mu I\]

• mrtvých přibývá

Význam parametrů:

Parametr	Význam
β	rychlost šíření infekce
γ	rychlost uzdravení
μ	mortalita
ν	rychlost vakcinace

Celý model:

\[\begin{cases} \frac{dS}{dt} = -\beta SI - \nu S \\ \frac{dV}{dt} = \nu S \\ \frac{dI}{dt} = \beta SI - \gamma I - \mu I \\ \frac{dR}{dt} = \gamma I \\ \frac{dD}{dt} = \mu I \end{cases}\]

Lotka–Volterra model predátor–kořist

• matematický model popisující vztah mezi predátorem a kořistí
• model popisuje vývoj populací v čase

Populace je rozdělena do 2 skupin:

Označení	Název	Význam
x	kořist	populace kořisti
y	predátor	populace predátorů

Průběh:

• kořist se přirozeně rozmnožuje
• predátoři loví kořist
• bez kořisti predátoři postupně vymírají

Diferenciální rovnice:

\[\frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta xy\]

• kořist přirozeně roste
• kořisti ubývá lovem

\[\frac{dy}{dt} = \delta xy - \gamma y\]

• predátorů přibývá díky potravě
• predátoři přirozeně umírají

Význam parametrů:

Parametr	Význam
α	rychlost růstu kořisti
β	intenzita lovu
γ	úmrtnost predátorů
δ	růst predátorů díky potravě

Celý model:

\[\begin{cases} \frac{dx}{dt} = \alpha x - \beta xy \\ \frac{dy}{dt} = \delta xy - \gamma y \end{cases}\]