SZZ materiály
8
Náhodná veličina a její charakteristiky (distribuční funkce, druhy, pravděpodobnostní funkce vs. hustota pravděpodobnosti, číselné charakteristiky [střední hodnota, rozptyl, kvantily], vybraná diskrétní a spojitá rozdělení pravděpodobnosti)
Náhodná veličina
- funkce přiřazující každému náhodnému jevu číselnou hodnotu
- náhodný jev je výsledek náhodného pokusu
- náhodný pokus je pokus, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda nastal nebo nenastal
- např. hod mincí (máme pana nebo orel, tak pana bude třeba 0 a orel 1)
Rozdělení náhodné veličiny
- předpis, který nám říká, jak jsou pravděpodobnosti rozděleny mezi jednotlivé možné výsledky
- odpovídá na otázku „Jak moc je která hodnota pravděpodobná?“
- rozdělení je funkce, které každému výsledku přiřadí jeho šanci na úspěch
- bez rozdělení je náhodná veličina jen prázdná proměnná; rozdělení jí dává „charakter“ (říká nám, co se děje často a co skoro vůbec)
Způsoby popisu rozdělení náhodné veličiny
- diskrétní
- spojitá
- distribuční funkce
Diskrétní
- nabývá izolovaných hodnot (0, 1, 2, …)
- popisuje se pravděpodobnostní funkcí $P(x) = P(X = x)$
- součet všech pravděpodobností je vždy 1
Příklad: Hod mincí
- Náhodná veličina ($X$): počet padlých „orel“
- Možné hodnoty: 0 nebo 1
- 0 = padla pana
- 1 = padl orel
- Rozdělení pravděpodobnosti (Pravděpodobnostní funkce):
- $P(X=0) = 0,5$ (panna)
- $P(X=1) = 0,5$ (orel)
- Kontrola: $0,5 + 0,5 = 1$ (vždy musí vyjít 100 %)
Příklad: Hod dvěma mincemi
- Náhodná veličina ($X$): počet padlých „orel“
- Možné hodnoty: 0, 1, nebo 2
- 0 = padly dvě panny (máš 0 orlů)
- 1 = padla jedna panna a jeden orel (máš 1 orla)
- 2 = padli dva orli
- Rozdělení pravděpodobnosti (Pravděpodobnostní funkce):
- $P(X=0) = 0,25$ (padnou dvě panny – šance 1 ze 4 - šance, že nebude žádný orel)
- $P(X=1) = 0,50$ (padne panna-orel nebo orel-panna – šance 2 ze 4 - šance, že bude přesně jeden orel)
- $P(X=2) = 0,25$ (padnou dva orli – šance 1 ze 4 - šance, že budou oba orli)
- Kontrola: $0,25 + 0,50 + 0,25 = 1$ (vždy musí vyjít 100 %)
Diskrétní pravděpodobností funkce
- grafem jsou izolované sloupce nebo body
- výška sloupce přímo ukazuje pravděpodobnost té hodnoty (např. 0,5 pro orla)
- mezi sloupci není nic (nemůžeš hodit 0,5 orla)
Spojitá
- nabývá jakékoliv hodnoty z určitého intervalu (např. všechna čísla od 0 do nekonečna)
- popisuje se hustotou pravděpodobnosti $f(x)$
- pravděpodobnost v jednom přesném bodě je vždy 0 ($P(X = 180,000…) = 0$)
- pravděpodobnost se počítá jako plocha pod křivkou pro určitý interval
Příklad: Výška dospělého muže
- Náhodná veličina ($X$): výška v centimetrech
- Možné hodnoty: teoreticky jakékoliv kladné číslo (v praxi např. 150 až 220 cm)
- Rozdělení pravděpodobnosti:
- místo tabulky máme křivku (u výšky je to ten známý “zvon” – Normální rozdělení)
- nejvyšší bod křivky je kolem 180 cm (to je nejčastější výška)
- šance, že potkáš někoho, kdo má přesně 180,000… cm, je nulovádává smysl se ptát jen na interval: “Jaká je šance, že má člověk mezi 175 a 185 cm?” (to je plocha pod křivkou v tomto rozmezí)
- Kontrola: Celková plocha pod celou křivkou (od začátku do konce) musí být vždy 1 (100 %)
Spojitá hustota pravděpodobnosti
- grafem je spojitá křivka
- pravděpodobnost není výška v jednom bodě, ale plocha pod křivkou v nějakém rozmezí
- hodnoty na sebe plynule navazují (mezi 180 cm a 181 cm je nekonečně mnoho dalších hodnot)
Distribuční funkce
- vzorec: $F(x) = P(X \leq x)$
- udává pravděpodobnost, že náhodná veličina nabude hodnoty menší nebo rovné $x$
- začíná vždy na 0 (v $-\infty$)
- končí vždy na 1 (v $+\infty$)
- je neklesající (pravděpodobnost se jen přičítá, nemůže ubývat)
U diskrétního rozdělení:
- Rozdělení je popsáno pravděpodobnostní funkcí $P(x)$.
- Distribuční funkce $F(x)$ je pak prostý součet těchto pravděpodobností od nejmenší hodnoty po $x$.
- Grafem jsou schody.
U spojitého rozdělení:
- Rozdělení je popsáno hustotou pravděpodobnosti $f(x)$.
- Distribuční funkce $F(x)$ je plocha (integrál) pod touto hustotou od $-\infty$ po $x$.
- Grafem je plynulá rostoucí křivka.
Příklad: Kostka (šestistěnka)
- Máme náhodnou veličinu $X$ (číslo na kostce).
- Pravděpodobnostní funkce pro každé číslo je $1/6$.
- Kolik je $F(3)$? Je to $P(X \leq 3)$.
- Znamená to: „Jaká je šance, že hodím trojku nebo méně (1, 2 nebo 3)?“
- Výpočet: $1/6 + 1/6 + 1/6 = 3/6 = 0,5$.
- Výsledek: $F(3) = 0,5$
- Tedy je šance 50 %, že hodím trojku nebo méně.
Číselné charakteristiky
Střední hodnota
- vzorec
Rozptyl
- vzorec
Kvantily